Materi Irisan Kerucut

Jenis irisan kerucut :

1. Jika kerucut dipotong sejajar alas akan terbentuk lingkaran (gb 1)
2. Jika kerucut dipotong pada bidang miring dari alas sampai garis pelukis akan terbentuk parabola. (gb 2)
3. Jika kerucut dipotong pada bidang miring dari garis pelukis satu ke garis pelukis lainnya akan terbentuk elips (gb 3)
4. Jika dua kerucut yg puncaknya berimpit pada bidang miring dari alas kerucut I ke alas kerucut II akan terbentuk hiperbola. (gb 4)

 

PARABOLA
Pengertian parabola : kedudukan titik-titik sehingga jaraknya terhadap titik focus sama dengan jarak titik tersebut ke garis direktrik

• Titik puncak => O(0,0)
• Titik focus => F(p,0)
• Garis direktriks => x = -p
• Sumbu simetri => y = 0
• Garis latus rectum => L1L2 => AB = BF
• Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan focus (p,0) => y² = 4px

Persamaan parabola dengan puncak (a,b) dan titik focus F(a+p,b) :

• Garis direktriks => x = a – p
• Sumbu simetri y = b
• Garis latus rectum => L1L2 => AB = BF
• Persamaan parabola : (y–b)² = 4p(x–a) => y² + Ax + By + C = 0

Persamaan Parabola	Titik Puncak	Titik Fokus	Pers. Sb Simetri	Pers. Direktriks	Bentuk Parabola
y² = 4px	O(0,0)	F(p,0)	y = 0	x = - p	Terbuka ke kanan
y² = ¬4px	O(0,0)	F(-p,0)	y = 0	x = p	Terbuka ke kiri
x² = 4py	O(0,0)	F(0,p)	x = 0	y = - p	Terbuka ke atas
x² = - 4py	O(0,0)	F(0,-p)	x = 0	y = p	Terbuka ke bawah
(y – b)² = 4p(x – a)	P(a,b)	F(a+p,b)	y = b	x = a - p	Terbuka ke kanan
(y – b)² = ̶ 4p(x – a)	P(a,b)	F(a-p,b)	y = b	x = a + p	Terbuka ke kiri
(x – a)² = 4p(y – b)	P(a,b)	F(a,b+p)	x = a	y = b - p	Terbuka ke atas
(x – a)² = ̶ 4p(y – b)	P(a,b)	F(a,b-p)	x = a	y = b + p	Terbuka ke bawah

Contoh soal :
1. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri dan persamaan direktriks dari parabola dengan persamaan :
    a. y² = –8x
    b.  y² – 8x –4y –20 = 0
jawab :
a.  y² = –8x <=> y² = –4.2x => titik puncak P(0,0); Fokus F(-2,0); Pers. sb simetri y=0; pers. direktriks x = 2

b. y² – 8x –4y –20 = 0
p = -1/4A = -1/4 * (-8) = 2
b = - 1/2B = -1/2 * (-4) = 2
a = (B²-4C)/4A = [(-4)²-4*(-20)]/[4*(-8)] = 96/(-32) = -3
Titik Puncak P(-3,2); Titik fokus F(-3+2 , 2) => F(-1,2); Pers sb simetri y = b => y = 2
Pers direktriks x = a-p => x = -3 - 2 => x = -5

3. Ketinggian roket h meter setelah t detik dirumuskan h(t) = 300t – 3t², tentukan tinggi maksimum roket!
jawab :
jika h(t) = y dan t = x maka y = 300x – 3x²
y = 300x – 3x² <=> y/3 = 100x – x² <=> x² - 100x + 2500 = -y/3 + 2500 <=> (x-50)² = -4*1/12 (y - 7500)
Koordinat titik puncak P(50,7500) jadi roket akan mencapai tinggi maksimum pada detik ke 50 setinggi 7500 m