Perkalian dan pemfaktoran bentuk aljabar

A. PERKALIAN

1. Perkalian suku satu dengan suku satu

    Jika variabelnya sama ==> Koefisien dikalikan; pangkat dijumlahkan

• a x a = a²
• a² x a = a³
• a² x a³ = a⁵
• 2a² x 3a⁴ = (2x3)a²⁺⁴ = 6a⁶

   
Jika variabel berbeda ==> koefisien di kalikan; variabel hanya disandingkan

• 2a² x 3b⁴ = (2x3)a²b⁴
• 3y x (- 4x²y² ) = (3x(- 4))x²y¹⁺² = - 12x²y³

2. Perkalian suku satu dengan suku dua

    Gunakan hukum distributif ==> ax(b + c) =a(b+c) = axb + axc = ab + ac
    Contoh :

• 2(3a + 4) = 2x3a + 2x4 = 6a + 8
• 2a (3a - 4b) = 2ax3a + 2ax(-4b) = 6a² - 8ab
• 2a²(3a - 4a²b) = (2a²x3a)+(2a²x(-4a²b)= 6a³- 8a⁴b

3. Perkalian suku dua dengan suku dua

    Uraikan kemudian gunakan cara no 2
    Contoh :

• (2a+3)x(4a-1) = (2a+3)(4a-1) = 2a(4a-1)+3(4a-1) = 8a²-2a+12a-3 = 8a²+10a-3
• atau gunakan teknik berikut : 

perkalian bentuk aljabar suku dua

Hasilnya : (2a + 3)x(4a - 1) = 8a²- 2a +12a-3 = 8a²+10a - 3

4. Perpangkatan suku dua ==> (a+b)² = a² + 2xaxb + b²

 Contoh :

• (2x + 3)²= (2x+3)(2x+3) = 4x²+6x+6x+9 = 4x²+12x+9; jika diselesaikan dengan rumus diatas ==> (2x+3)² = (2x)²+2x2xx3 + 9²= 4x²+12x+9
• (4 - 3a)² = (4)² + 2x4x(-3a) + (-3a)² = 16 - 24a + 9a²
•  (2a - 3b)² = (2a)² + 2x2ax(-3b) + (-3b)² = 4a²- 12ab + 9b²

B. PEMFAKTORAN

Pemfaktoran merupakan kebalikan dari perkalian, sehingga memfaktorkan suatu bentuk aljabar sama saja kita mengalikan bentuk aljabar dalam urutan terbalik.

Contoh Soal perkalian	Contoh Soal Pemfaktoran
Hasil dari 2a(3a - 4) adalah .... jwb : 2a(3a - 4) = 2a x 3a + 2a x (-4) = 6a2 - 8a	Faktorkan : 6a2 - 8a jwb : 6a2 - 8a =2ax3a - 2ax4 =2a(3a - 4)

Perhatikan bahwa urutan pengerjaan soal pemfaktoran terbalik dari urutan pengerjaan soal perkalian.

1. Pemfaktoran dg bentuk : ab + ac = a(b + c)

Ciri soal : masing-masing suku mempunyai FPB selain 1
Contoh :

• 4a + 6 = 2(2a + 3) ==> 2 FPB dari 4a dan 6
• 12a² - 18a = 6a(2a - 3) ==> 6a FPB dari 12a²dan 18a

2. Pemfaktoran bentuk a² - b²

Rumus = a² - b² = (a + b)(a - b)
Contoh soal :

1. p² - 9² = (p + 3)(p - 3)
2. 4a² - 16b² = (2a + 4b)(2a - 4b)
3. a⁴ - 25b² = (a² + 5b)(a² - 5b) 

3. Pemfaktoran bentuk ax² + bx + c

Perhatikan contoh berikut :

Contoh Soal perkalian	Contoh Soal Pemfaktoran	Penjelasan
Hasil dari (2a+3)(4a - 1) adalah ... jwb : (2a+3)(4a-1) = 2a(4a-1) + 3(4a-1) = 8a2 - 2a + 12a -3 =8a2 + 10a - 3	Faktorkan : 8a2 + 10a -3 jwb : 8a2 + 10a -3 =8a2 - 2a + 12a -3 =2a(4a-1) + 3(4a-1)  =(4a-1)(2a+3)	10a diubah menjadi -2a + 12a dengan syarat -2x12=8x(-3) dan -2+12 = 10 8a2 - 2a difaktorkan menjadi 2a(4a-1) 12a - 3 = ..3.(4a-1) || 4a-1 diambil dari hasil sebelumnya 2a(4a-1)+3(4a-1) = (4a-1)(2a+3)

Perhatikan urutan perhitungan perkalian dan pemfaktoran bentuk aljabar di atas. Langkah-langkah pemfaktoran :

1. Suku yang ditengah 10a diubah menjadi dua suku dengan syarat    ... x ... = 8x(-3)= - 24 dan ...+...= 10 maka diperoleh : -2x12 = -24 dan -2+12 = 10 sehingga suku 10a diubah menjadi -2a + 12a
2. Dua suku pertama 8a² - 2a difaktorkan menjadi 2a(4a-1); kemudian dua suku berikutnya 12a - 3 difaktorkan menggunakan hasil pemfaktoran kelompok pertama yaitu (4a-1) sehingga menjadi 12a - 3 = 3(4a-1)
3. Perhatikan kedua suku memuat (4a-1) sehingga hasil terakhirnya : 2a(4a-1)+3(4a-1) = (4a-1)(2a+3) atau dapat juga ditulis (2a+3)(4a-1)

Cara lain :

Cara ini oleh guru saya dulu waktu SMP disebut rumus abc, yang sebenarnya untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, namun dapat juga kita pakai untuk menyelesaikan permasalahan pemfaktoran diatas, dengan cara bentuk aljabar tersebut kita anggap sebagai persamaan kuadrat  8a² + 10a - 3 = 0, berikut langkah-langkahnya

8a² + 10a -3 = 0 ==> a = 8; b = 10; c = -3 nilai a,b, dan c kita masukan ke dalam rumus berikut ini :

Sehingga dari perhitungan tersebut kita dapatkan :
8a² + 10a - 3 = (4x - 1)(2x + 3)

Cara lain ke dua :